Рациональное число (обыкновенную дробь) можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. 

Число 0,10110111011110111110… – это бесконечная непериодическая дробь. В ней никакая группа цифр не является периодом. Значит, эта дробь не является рациональным числом. Это иррациональное число. 

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом. 

Например:
 0,01001000100001…,
 17,12345678910111213…,
 = 3,14159265358979323846264…,
 e = 2,71828182845904523536… – это иррациональные числа. 

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами. 

Любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая. Если число иррациональное, то дробь непериодическая. 

Основные свойства действительных чисел: 

1. Для любых двух действительных чисел a и b имеет место только одно из соотношений: a = b, a < b, a > b. 

2. Для любых двух действительных чисел a и b таких, что a < b, найдётся такое действительное число c, что a < c и c < b, то есть a < c < b. 

3. Если a < b и b < c, то a < c – свойство транзитивности неравенств. 

4. Если a < b, то a + c < b + c для любого действительного числа c. 

5. Если a < b и c – положительное число, то a · c < b · c  

Для любых действительных чисел a, b и c справедливы равенства: 

a + b = b + a,  

(a + b) + c = a + (b + c),  

a · b = b · a,  

(a · b) · c = a · (b · c),  

a · (b + c) = a · b + a · c,  

a + 0 = a,  

a + (–a) = 0,  

a – b = a + (–b),  

a · 0 = 0,  

a · 1 = a,  

–a = (–1) · a,  

 

 

На нуль делить нельзя, поэтому выражение  не имеет смысла для любого действительного числа a, в том числе и для a = 0. 

Все действительные числа образуют множество действительных чисел R. Например,   

Все рациональные числа образуют множество рациональных чисел . Например, .  

Все иррациональные числа образуют множество иррациональных чисел J. Например,  

Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Множество R не содержит других элементов. В этом случае говорят, что R – это объединение Q и J,  множество Q – это подмножество множества R, множество J – это подмножество множества R и пишут: 

 

Все целые числа образуют множество целых чисел . Например, .  Целое число – это рациональное число. В этом случае говорят, что множество Z – это подмножество множества Q и пишут:

 

Натуральные числа – это целые числа, поэтому множество N – это подмножество множества Z, то есть  .