Рассмотрим вычитание целых неотрицательных чисел. 

Если уменьшаемое больше, чем вычитаемое, то результат действия вычитания – это неотрицательное число. Например, 10 – 4 = 6. Говорят, что можно найти неотрицательную разность. 

Если уменьшаемое меньше, чем вычитаемое, то нельзя найти неотрицательную разность (10 – 12 = ?). 

Чтобы найти разность 10 – 12, нужно расширить ряд неотрицательных чисел. Для этого запишем слева от нуля по порядку числа 1, 2, 3, 4, … и допишем к каждому числу знак минус (–). Эти числа читаем так: «минус один», «минус два», «минус три» и так далее:

…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…  . 

Знак числа (плюс или минус) показывает, где стоит число – справа или слева от нуля. Справа от числа 0 расположены натуральные числа. Натуральные числа – это целые положительные числа. Положительные числа имеют знак плюс. 

Слева от числа 0 расположены целые отрицательные числа. Отрицательные числа имеют знак минус. 

Число 0 – это целое число. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом. Нуль разделяет положительные и отрицательные числа. 

Ряд чисел, который мы получили, – это ряд целых чисел или целочисленный ряд. Натуральные (целые положительные) числа, нуль и целые отрицательные числа образуют ряд целых чисел. 

Перед положительным числом можно записать знак плюс (+). При этом число не изменится. Перед отрицательными числами пишут знак минус (–). 

Числа, которые отличаются только знаком, – это противоположные числа. 

Например, числа +5 и –5 – это противоположные числа. Число +5 противоположно числу –5. Число –5 противоположно числу +5. 

Если а – любое число, то (–а)– это противоположное число. Чтобы для числа a найти противоположное число, нужно число a умножить на (–1). 

Если а – положительное число, то (–а) – отрицательное число. Haпример,
а = +5, тогда, –а = – (+5) = –5. 

Если а – отрицательное число, то (–а) – положительное число. Например,
а = –7, тогда –а = –(–7) = +7. 

Нуль противоположен самому себе: 0 = –0 = +0. 

Теперь можно сказать, что натуральные числа, им противоположные числа и нуль образуют ряд целых чисел или целочисленный ряд. 

Введём новое понятие – модуль числа (абсолютная величина числа). 

Модуль положительного числа – это само число: |+12| = +12 (модуль числа плюс двенадцать равен числу плюс двенадцать). 

Модуль числа 0 – это само число 0: |0| = 0 (модуль нуля равен нулю). 

Модуль отрицательного числа – это противоположное число: |–19| = +19 (модуль числа минус девятнадцать равен числу плюс девятнадцать). 

Таким образом, модуль любого числа – это положительное число или нуль, то есть неотрицательное число. 

 

Модуль положительного или отрицательного числа показывает, на каком месте от нуля (справа или слева) стоит это число в ряду целых чисел. 

Противоположные числа имеют одинаковый модуль:

|+6| = |–6| = 6, |–8| = |+8| = 8, |a| = |–a|.