ТЕКСТ ДЛЯ ЧТЕНИЯ

1. Признаки делимости чисел 

1.  Если последняя цифра числа – это 0 (нуль), то число делится на 10. 

2.  Если последняя цифра числа – это 0 или 5, то число делится на 5. 

3.  Если последняя цифра числа – это 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2.
  Если последняя цифра числа – это 1, 3, 5, 7 или 9, то число не делится на 2. 

4.  Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. 

5.  Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. 

Число, которое делится на два – это чётное число. 

2, 4, 6, 8, 10, 12, ... – это чётные числа. 

Число, которое не делится на два – это нечётное число. 

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... – это нечётные числа. 

 

2. Простые и составные числа. Разложение на множители 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... – это простые числа. 

Простое число – это число, которое не равно числу 1 и делится только на 1 и на себя. 

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, ... – это составные числа. 

Составные числа – это числа, которые не равны числу 1 и делятся на 1, на себя и на другие числа. 

Число 1 – это не простое и не составное число. 

Составное число 15 можно записать как произведение 5 · 3, то есть 15 = 5 · 3. Множители 5 и 3 – это простые числа. Значит, число 15 можно разложить на простые множители. 

Разложить число на простые множители – это значит записать это число как произведение простых множителей. 

Пример.  6 = 2 · 3;   24 = 2 · 2 · 2 · 3;   75 = 3 · 5 · 5;   210 = 2 · 3 · 5 · 7. 

 

3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 

Число 6 делится на 2 и на 3. Следовательно, числа 2 и 3 – это делители числа 6. 

Числа 30 и 70 делятся на 2. Число 2 – это их общий делитель. 

Числа 30 и 70 имеют другие общие делители – это 1, 5, 10. Число 10 – это их наибольший общий делитель, то есть НОД(30; 70) = 10. 

Наибольший общий делитель чисел a и b – это наибольшее число, на которое делятся числа a и b. НОД(a, b) = c. 

Для нескольких чисел можно найти наибольший общий делитель. Для этого надо сначала разложить все числа на простые множители, а затем найти произведение всех общих простых делителей этих чисел. 

Пример. Найдём НОД(24; 60). 

24 = 2 · 2 · 2 · 3;   60 = 2 · 2 · 3 · 5  ⇒  НОД(24; 60) = 2 · 2 · 3 = 12. 

Число 6 делится на 2 и на 3. Следовательно, число 6 – это кратное чисел 2 и 3. 

Наименьшее общее кратное чисел a и b – это наименьшее число, которое делится и на a, и на b. НОК(a, b) = d. 

Для нескольких чисел можно найти наименьшее общее кратное. Для этого надо сначала разложить все числа на простые множители, а затем найти произведение всех простых делителей первого числа и тех делителей остальных чисел, которых нет среди делителей первого числа. 

Пример. Найдём НОК(12; 54). 

12 = 2 · 2 · 3,   54 = 2 · 3 · 3 · 3. Найдём произведение всех простых делителей числа 12 и тех делителей числа 54, которых нет среди делителей числа 12: НОК(12; 54) = (2 · 2 · 3) · (3 · 3) = 108. 

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей. 

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен числу 1. 

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. 

Пример. НОД(12; 35) = 1 ⇒ 12 и 35 – это взаимно простые числа ⇒ НОК(12; 35) = 12 · 35 = 420.