1.1.  Прочитайте следующие числа: 100, 10 000, 1 000 000, 10, 10 000 000, 100 000, 1 000.

1.2.  Запишите следующие числа цифрами: сто тысяч, миллион, сто, десять миллионов, десять тысяч, миллиард, тысяча, десять миллиардов, десть, сто миллиардов, сто миллионов.

1.3.  Прочитайте следующие числа: 325, 746, 1 502, 12 638, 138 536, 174 643, 53 306, 803 120.

1.4.  Запишите следующие числа цифрами: восемьсот двадцать три тысячи триста семьдесят четыре, семнадцать миллионов четыреста восемьдесят три тысячи пятьсот семь, двести восемь тысяч два, тридцать две тысячи десять, семьсот два миллиона семьдесят два.

1.5.  Составьте все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, 3 так, чтобы все цифры числа били разные.

1.6.  В следующих числах укажите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч: 123, 102, 4 387, 8 037, 12 530, 13 287.

1.7.  Сколько всего однозначных, двузначных, трёхзначных чисел? Назовите самое маленькое число и самое большое число в каждой группе.

1.8.  В книге все страницы имеют номера с 1 по 148. Сколько всего нужно цифр, чтобы написать номера всех страниц?

1.9.  Чтобы написать номера всех страниц в книге, использовали 1 989 цифр. Сколько страниц в книге?

1.10. Прочитайте текст, найдите в нём числа, запишите их с помощью цифр. Масса третьего искусственного спутника Земли равна одной тысяче трёмстам двадцати семи килограммам. При запуске спутник вышел на орбиту на расстоянии одной тысячи восьмисот восьмидесяти километров от Земли. За триста пятьдесят восемь суток спутник сделал пять тысяч оборотов вокруг Земли. При этом он пролетел двести двадцать восемь миллионов двести тысяч километров.

1.11. Прочитайте числа, которые записаны с помощью римских цифр, и запишите их с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: VII, XIII, XXV, CCXI, XXXVIII, LI, LXII, IV, IX, XL, XC, XIX, XXXIV, XLII, XCII.

1.12. Запишите данные числа с помощью римских цифр I, V, X, L, C и прочитайте их: 6, 11, 14, 15, 24, 29, 37, 48, 54, 78, 106.

2.1.  Скажите, сколько единиц каких разрядов содержать числа, которые записаны в виде суммы разрядных единиц. Не выполняя арифметических действий, запишите эти числа и прочитайте их:

а) 8 · 1 000 + 3 · 100 + 5 · 10 + 2,

б) 3 · 1 000 + 7 · 10 + 5,

в) 9 · 10 000 + 7 · 1 000 + 8 × 100 + 3 · 10 + 6,

г) 5 · 10 000 + 4 · 1 000 + 9 · 10 + 2,

д) 6 · 10 000 + 4 · 100 + 9.

2.2.  Запишите каждое из данных чисел в виде суммы его разрядных единиц: 564, 304, 8 309, 15 846, 12 709, 284 060, 526 021.

2.3.  Можно ли среди первых ста положительных чисел выбрать 50 чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, у которых сумма равна 100? Можно ли выбрать 52 числа с такими же условиями?

2.4.  Друзья хотели за три дня пройти 65 км. За первый день они прошли 24 км, за второй день – на 2 км меньше. Сколько километров им оставалось пройти после первого дня? Сколько километров им осталось пройти в третий день?

2.5.  В трёх классах 44 девочки. Это на 8 человек меньше, чем мальчиков. Сколько в трёх классах мальчиков? Сколько всего детей в трёх классах?

2.6.  В одной группе 15 человек, а в другой на 10 человек меньше. Во сколько раз в первой группе больше человек, чем во второй?

2.7.  Мальчику 10 лет. Он на два года старше своего брата. А их отец в 5 раз старше младшего из мальчиков. Сколько лет отцу?

2.8.  В школьную библиотеку привезли 20 коробок по 16 книг в каждой коробке. Сколько книг привезли в библиотеку?

2.9.  Самые высокие вершины на Земле – это Джомолунгма (Эверест), Чогори и Канченджанга. Пик Чогори имеет высоту 8 611 м, что на 25 м выше, чем Канченджанга и на 237 м ниже, чем Эверест. Определите высоту Эвереста и Канченджанги.

2.10. Пульс человека составляет 75 ударов в минуту. Сколько ударов пульса произойдёт за 1 час, за 1 сутки, за один год?

2.11.  Колесо делает 52 оборота в каждые 4 минуты. Сколько оборотов оно делает в час, в 3 часа, в сутки?

2.12. Длина окружности колеса равна 2 м. сколько оборотов сделает колесо на расстоянии 1 600 м?

2.13. Колесо делает 64 оборота на расстоянии 192 м. Определите длиу окружности колеса.

2.14. Произведение четырёх последовательных чисел равно числу 3 024. Найдите эти числа.

2.15. Произведение четырёх числе равно 23 625. Три первых числа равны друг другу, и их сумма равна числу 45. Найдите четвёртое число.

2.16. Библиотека занимает четыре комнаты. В первой комнате находится 8 077 томов, во второй комнате – 10 909 томов, в третьей комнате находится на 1 870 томов больше, чем во второй комнате, а в четвёртой – больше, чем в первой, на 1 908 томов. Сколько всего томов в библиотеке?

2.17. Расстояние от Земли до Луны составляет триста восемьдесят тысяч километров, а расстояние от Земли до Солнца на сто сорок девять миллионов шестьсот двадцать тысяч километров больше. Найдите расстояние от Земли до Солнца.

2.18. При движении вокруг Солнца Земля перемещается за месяц на 75 168 720 км. На какое расстояние Земля перемещается за сутки, за час?

2.19. В Санкт-Петербурге 22 декабря солнце восходит в 10 часов 0 минут и заходит в 15 часов 55 минут, в 22 июня солнце восходит в 3 часа 35 минут и заходит в 22 час 26минут. Какова продолжительность самого короткого и самого длинного дней в Санкт-Петербурге? На сколько один из этих дней продолжительнее другого?

2.20. Сколько сейчас времени, если прошедшая часть суток на 3 часа 30 минут больше, чем оставшаяся?

2.21. Сколько сейчас времени, если прошедшая часть суток на 6 часов 20 минут меньше, чем оставшаяся?

2.22. Который теперь час, если прошедшая часть суток на 3 часа 30 минут больше оставшейся?

2.23. Который теперь час, если прошедшая часть суток на 6 часов 20 минут меньше оставшейся?

2.24. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то в комнатах стало поровну человек. Сколько человек было в комнатах первоначально?

2.25. В двух комнатах было 56 человек. Когда из первой вышли 8 человек, а из второй – 12, то в комнатах осталось одинаковое число человек. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

2.26. На двух полках 48 книг. Когда с первой полки сняли 10 книг, а на вторую поставили 12 книг, то на полках оказалось одинаковое число книг. Сколько книг стояло на полках первоначально?

2.27. В трёх вазах стояло 36 роз. Когда из первой вазы во вторую переставили 3 цветка, то во всех вазах роз стало поровну. Сколько роз было в каждой вазе первоначально?

2.28. На первой полке стояло в три раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояли 72 книги. Сколько книг стояло на каждой полке?

2.29. На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?

2.30. В книге 276 страниц. Студент прочитал в три раза меньше страниц, чем ему осталось. Сколько страниц прочитал студент?

2.31. При сложении двух чисел получилось 824, а при вычитании из большего числа меньшего получилось 198. Найдите эти числа.

2.32. В двух пачках вместе 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если известно, что в одной из них в 4 раза больше чем в другой?

2.33. На трёх полках расположены книги так, что на второй полке книг вдвое больше, чем на первой, а на третьей – втрое больше, чем на второй. Определите, сколько книг на каждой полке, если известно, что на всех трёх полках находится 171 книга.

2.34. Одно из слагаемых в 7 раз больше другого, а сумма их равна 144. Найдите каждое слагаемое.

2.35. Сумма двух чисел равна 729, причём первое слагаемое в 8 раз меньше второго. Найдите каждое слагаемое.

2.36. Уменьшаемое в четыре раза больше вычитаемого, а разность равна 12 738. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

2.37. Вычитаемое в шесть раз меньше уменьшаемого, а разность равна 10 385. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

2.38. Отец старше сына на 24 года. Сколько лет сыну, если через 3 года он будет в 5 раз моложе отца?

2.39. Сыну сейчас 14 лет, а пять лет назад он был в 5 раз моложе своего отца. Сколько в данное время лет отцу?

2.40. Студент исписал 4 тетради по 18 листов и столько же тетрадей по 12 листов. Сколько всего листов исписал студент?

3.1.   Из следующих чисел выпишите те, которые делятся на 2, на 5, на 10, на 2 и 5: 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1 000, 1 262, 2 440, 5 234, 670, 302, 1 200.

3.2.   Запишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10.

3.3.   Запишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 5.

3.4.   Запишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2.

3.5.   С помощью цифр 2, 7, 5, 3 (без повторений) запишите все четырёхзначные числа, которые делятся на 2, делятся на 5.

3.6.   С помощью цифр 1, 2, 5, 6 запишите все трёхзначные числа, которые делятся на 2, делятся на 5, делятся на 10.

3.7.   Докажите, что сумма двух чётных чисел – это чётное число.

3.8.   Докажите, что сумма двух нечётных чисел – это чётное число.

3.9.   Докажите, что сумма чётного числа нечётных чисел – это чётное число.

3.10. С помощью цифр 1, 2, 3 (без повторений) запишите шесть различных трёхзначных чисел. Какие из них делятся на 3, делятся на 6, делятся на 9.

3.11. Найдите наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт в остатке 1, даёт в остатке 2, даёт в остатке 0.

3.12. Найдите наименьшее число, которое при делении на 3, 4, 5, 6 и 7 даёт в остатке 1.

3.13. Выпишите все числа от 1 до 50, которые можно записать в виде произведения двух простых чисел.

3.14. Запишите 5 пар составных чисел, которые являются взаимно простыми между собой.

3.15. В вазе лежат яблоки. Их надо разделить поровну между двумя, тремя, четырьмя детьми так, чтобы каждый получил наибольшее возможное число яблок. Сколько может остаться в вазе в каждом случае?

3.16. Не выполняя действий, с помощью признаков делимости определить, будут ли делиться на 2, на 3, на 5, на 6, на 15 следующие суммы:

а) 150 + 225;

б) 450 + 160;

в) 180 + 255;

г) 5 040 + 8 310 + 750;

д) 28 422 + 22 050;

е) 2 808 + 6 500 + 1 875.

3.17. Не выполняя действий, с помощью признаков делимости определить, будут ли делиться на 2, на 3, на 5, на 9, на 25, на 18 следующие суммы:

а) 1 800 + 5 400;

б) 9 900 + 4 200;

в) 2 700 + 1 836;

г) 92 250 + 36 000;

д) 7 200 + 6 300 + 4 500;

е) 3 636 + 4 800 + 6 075.

3.18. Не выполняя действий, с помощью признаков делимости определить, какие из следующих произведений будут ли делиться на 2, на 3, на 5, на 9:

а) 6 · 23 · 75;

б) 55 · 32 · 27;

в) 64 · 128 · 32;

г) 177 · 22 · 13;

д) 225 · 75 · 17;

е) 175 · 16 · 47;

ж) 24 · 36 · 53;

з) 60 · 25 · 17;

и) 61 · 44 · 70;

к) 37 · 121 · 19;

л) 123 · 207 · 41;

м) 43 · 50 · 11.

4.1.  Какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки за 30 минут, за 15 минут, за 20 минут; за 45 минут, за 40 минут?

4.2.  Какую часть 1 часа составляет 10 минут, 5 минут, 25 минут, 55 минут?

4.3. Если к  неизвестного числа прибавить , то получится . Найдите неизвестное число.

4.4.  Если из  неизвестного числа вычесть , то получится . Найдите неизвестное число.

4.5.  Если из  неизвестного числа вычесть 10 и полученную разность умножить на 5, то получится 100. Найдите неизвестное число.

4.6.  Если неизвестное число увеличить на  его, то получится 60. Какое это число?

4.7.  Если к неизвестному числу прибавить столько же и ещё , то получится . Найдите неизвестное число.

4.8.  Из числа,  которого равны числу 1, вычтите число,  которого равны числу 2. Сколько получится?

4.9.  Если к неизвестному числу прибавить столько же, да ещё , то получится . Найдите неизвестное число.

4.10. К числу,  которого равна числу , прибавьте число,  которого равны числу .

4.11. Сейчас 6 часов вечера. Какую часть составляет оставшаяся часть суток от прошедшей и какая часть осталась?

4.12. Площадка прямоугольной формы имеет длину  м, а её ширина составляет  длины. Эту площадку окаймляет дорожка шириной  м. Найдите площадь дорожки.

4.13. Прямоугольник раздели на 8 равных частей. Сначала закрасили  прямоугольника, потом , потом . Весь ли прямоугольник закрасили?

4.14. Круг раздели на 6 равных частей. Сначала закрасили  часть круга, потом , потом . Весь ли круг закрасили?

4.15. Даны три числа. Первое , второе на 5 больше, чем первое, а третье на  больше, чем первое. Найдите их сумму.

4.16. Длина автобусного маршрута 24 км. Расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет  всего маршрута. Определите это расстояние.

4.17. Длина автобусного маршрута 36 км. Расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет  всего маршрута. Определите длину оставшейся части маршрута.

4.18. Длина автобусного маршрута 48 км. Расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет  всего маршрута. Определите, на сколько это расстояние меньше, чем длина оставшейся части маршрута.

4.19. Из 36 студентов одной группы контрольную работу по математике на «отлично» выполнили 6 человек, на «хорошо» – 18 человек, на «неудовлетворительно» не написал работу ни один человек. Какую часть класса составляют студенты, которые получили отметку «отлично»? Какую часть составляют те, кто получили «хорошо» или «отлично»? Сколько человек получили «удовлетворительно» и какую часть группы они составляют?

4.20. Какова длина троса,  если от него отрезали три куска, длины которых  км,  км,  км, и ещё осталось  км?

4.21. Сон взрослого человека примерно  суток. Сколько часов человек не спит и какую часть суток составляет этот промежуток времени?

4.22. Часы отстают за сутки на  минуты. На сколько минут часы отстанут за  суток?

4.23. Пешеход проходит 1 км за  минуты. За сколько минут он пройдёт  км?

4.24. Пешеход проходит в час  км. За сколько часов он может пройти  км?

4.25. Турист прошёл  маршрута, а осталось ему пройти  км. Какова длина маршрута?

4.26. Наибольшее количество соли, которое растворяется в воде, составляет  массы воды. Сколько килограммов соли растворится в  ведра воды, если масса ведра 12 кг?

4.27. В первый день теплоход прошёл  км пути, а во второй день на  км меньше, чем в первый. Сколько километров прошёл теплоход во второй день?

4.28. В одном ящике  кг яблок, в другом ящике на  кг больше, чем в первом. Сколько килограммов яблок в двух ящиках?

4.29. Бассейн наполняется за 1 час до  объёма. За какое время он наполнится весь?

4.30. Скорость полёта стрижа 1600 м в минуту. Скорость полёта скворца составляет  скорости полёта стрижа, а скорость полёта ястреба –  скорости полёта стрижа. Найдите скорость полёта скворца и ястреба в минуту.

4.31. Поезд прошёл 540 км. По горизонтальному пути он прошёл  всего расстояния, при подъёме –  остатка, а остальной путь – под уклон. Сколько километров пути поезд прошёл под уклон?

4.32. В первой школе 840 учащихся, во второй школе на  этого числа больше, в третьей школе  числа учащихся второй школы, а в четвёртой –  числа учащихся первых трёх школ вместе. Сколько учащихся во всех четырёх школах?

4.33. За сколько времени можно пройти  км, если идти со средней скоростью  км в час?

4.34. Когда турист проехал  всего пути между двумя городами, то до половины пути ему осталось проехать 15 км. Найдите расстояние между городами.

4.35. У рыбака спросили: «Сколько весит пойманная тобой рыба?» Он ответил: «Три четверти килограмма и ещё три четверти своей массы». Какова масса рыбы?

4.36. Мальчик прочитал  всей книги, потом ещё  остатка. После этого оказалось, что он прочитал на 25 страниц больше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге?

5.1.  Даны три числа 10,8; 3,4; 5,2. Запишите с помощью знаков выражение и найдите его значение: сумму всех трёх чисел умножить на разность между первым и вторым числами.

5.2.  Даны три числа 12,4; 5,2; 9,6. Запишите с помощью знаков выражение и найдите его значение: сумму первых двух чисел, умножить на удвоенную разность между первым и третьим числами.

5.3.  Даны три числа 20,6; 2,8; 7,4. Запишите с помощью знаков выражение и найдите его значение:  разность первого и третьего чисел сначала увеличить в десять раз, затем уменьшить на разность между третьим и вторым числами, умноженную на три.

5.4.  Даны три числа 14,2; 4,6; 8,4. Запишите с помощью знаков выражение и найдите его значение: к произведению первого числа на сумму второго и третьего чисел прибавить разность между первым и третьим числами и полученный результат увеличить в сто раз.

5.5.  К какому числу надо прибавить 25,4, чтобы получилось число, которое в 2,5 раза больше, чем 15,1?

5.6.  Из какого числа надо вычесть 3,2, чтобы получилось число, которое в 4,6 раза больше, чем 6,8?

5.7.  Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57 и в произведении получили 3,44. Найдите неизвестное число.

5.8.  Сумму неизвестного числа и числа 0,9 умножили на разность между числами 1 и 0,4 и в произведение получили 2,412. Найдите неизвестное число.

5.9.  Сумма двух чисел 100,05. Одно число на 97,06 больше другого. Найдите эти числа.

5.10. Сумма трёх чисел 446,73. Первое число меньше второго на 73,17 и больше третьего на 32,22. Найдите эти числа.

5.11. Найдите два числа, сумма которых 26,35, а частное отделения одного числа на другое равно 7,5.

5.12. Разность двух чисел 5,2, а частное от деления одного числа на другое равно числу 5. Найдите эти числа.

5.13. Разность двух числе равна числу 0,96, а их частное равно числу 1,2. Найдите эти числа.

5.14. Одно число на 0,3 меньше, чем другое, и составляет 0,75 от него. Найдите эти числа.

5.15. Одно число на 3,9 больше другого числа. Если меньшее число увеличить в 2 раза, то оно составит 0,5 от большего. Найдите эти числа.

5.16. Длина реки Дон в 3,934 раза больше, чем длина реки Москва. Найдите длину каждой реки. Если длина реки Дон больше длины реки Москва на 1467 км.

5.17. Самая маленькая птица на Земле – колибри, а самая большая – страус. Масса колибри 1.8 г, что составляет 0,00002 массы страуса. Найдите массу страуса.

5.18. В Кремле стоят Царь-пушка и Царь-колокол, созданные русскими мастерами. Масса колокола 200 тонн, а масса пушки составляет 20% массы колокола. Какова масса Царь-пушки?

5.19. Товар со скидкой в 10% был продан за 1 800 рублей. Какова была стоимость товара без скидки?

5.20. Длина одной из сторон треугольника равна 2,25 см, длина второй стороны на 3,5 см больше длины первой стороны, а длина третьей стороны на 1,25 см меньше длины второй стороны. Найдите периметр треугольника. Периметр – это сумма длин всех сторон треугольника.

5.21. Длина одной из сторон треугольника равна 4,5 см, длина второй стороны на 1,4 см меньше длины первой стороны, а длина третьей стороны равна полусумме длин двух первых сторон. Чему равен периметр треугольника? Периметр – это сумма длин всех сторон треугольника.

5.22. В шахматном турнире участвуют 9 игроков, причём каждая пара участников играет только одну партию. Число партий, сыгранных вничью, составляет 140% от числа выигранных партий. Сколько партий выиграно и сколько сыграно вничью?

5.23. Слон тяжелее бегемота на 0,7 тонны, а их общая масса 8,3 тонны. Какова масса каждого животного?

5.24. Определите скорость пешехода, который за 2,4 часа прошёл 10,8 км пути.

5.25. Определите скорость пешехода, который за 1,8 часа прошёл 9,9 км пути.

5.26. К числителю и знаменателю дроби  прибавили одно и то же число и получили дробь 0,5. Какое число прибавили к числителю и знаменателю дроби?

5.27. Туристы прошли 75% пути, и им осталось пройти ещё 5 км. Какова длина всего пути?

5.28. Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько железа содержится в 13 тоннах железняка?

5.29. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. Сколько олова и сколько свинца в 49 г сплава?

5.30. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. В куске такого сплава содержится олова на 7,2 г больше, чем свинца. Сколько граммов свинца в таком сплаве?

5.31. Сплав содержит 40% олова, 2% сурьмы, остальную часть составляет свинец. Сколько олова, сурьмы и свинца содержится в 30 г сплава?

5.32. Сплав содержит 40% олова, 2% сурьмы, остальную часть составляет свинец. В куске такого сплава свинца на 3,2 г больше, чем олова. Определите массу куска сплава?

5.33. Кусок сплава массой 3 кг, содержащий 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова массой  кг. Каким стало процентное содержание олова в новом сплаве?

5.34. Цену товара уменьшили на 10%, затем ещё на 10%. На сколько процентов уменьшили цену товара за 2 раза?

5.35. Цену товара сначала повысили на 10%, а затем понизили 10%. Как изменилась цена в результате? На сколько процентов?

5.36. Цену товара сначала понизили на 10%, а затем повысили 10%. Как изменилась цена в результате? На сколько процентов?

5.37. Запишите периодические дроби в виде обыкновенных дробей: 0,(1); 0,(3); 1,(5); 2,(7); 0,1(25); 0,6(37); 3,01(10); 20,8(05).

5.38. Округлите числа с точностью до 0,01: 127,(023); 0,1(27); 1,34(8).

5.39. Округлите числа с точностью до 0,001: 0,345678; 0,765432; 0,(42); 0,(36); 0,(62); 0,(500).

5.40. Округлите числа с точностью до 0,01 и выполните действия:

а) 1,256 + 2,(5);

б) 1,(45) – 1,2;

в) 0,(1) · 0,(2);

г) 45,6(12) : 10,(2).

6.1.   Определите, какие из следующих утверждений верны: 1 ∈{1, 2, 3}; 1 ∉ {1}; {1] ∈ {1, 2}; {1} ∈ {{1}}; ∅ ∉ {1, 2}; ∅ ∈ {∅}.

6.2. Задайте с помощью перечисления элементов следующие множества: множество правильных дробей со знаменателем 7; множество правильных дробей, знаменатель которых не больше, чем 4; множество букв слова «математика»; множество цифр числа 555.

6.3.   Определите, равны ли следующие множества:

а) A = {1, 2} и B = {2, 1};

б) A = {1} и B = {{1}};

в) A = {(1; 0)} и B = {(0; 1)};

г) A = {x | x ≤ 3, x ∈ Z} и B = {x | x < 4, x ∈ Z};

д) A = {x | x ∈ N, x кратно 2 и 3} и B = {x | x ∈ N, x кратно 6};

е) A = {x | x ∈ N, x ≤ 15, x = 19k, k ∈ Z} и B = {x | x ∈ N, 3 < x < 4}.

6.4.   Среди перечисленных множеств укажите равные множества:

A = {x | x ∈ N, x = 6n – 3, n ∈ N};

B = {x | x ∈ N, x = 3n, n ∈ N};

C = {x | x ∈ N, x кратно 3 и не кратно 2};

D = {x | x ∈ N, x = 6n + 3, n ∈ N}.

6.5.   Определите, какие из следующих множеств равны пустому множеству:

A= {x | x ≠ x};

B = {x | x ∈ Z, 0.5x – 2 = 0};

C = {x | x ∈ Z, | x | < 1};

D = {x | x > | x |}.

6.6.   Пусть А – множество цифр числа 1958. Определите, является ли множество цифр числа x подмножеством множества А, если: x = 98; x = 9510; x = 519; x = 5858; x = 195888; x = 91258.

6.7.   Пусть А – множество двузначных чисел, В – множество простых чисел. Какие из чисел 5, 7, 11, 31, 57, 96 принадлежат множеству А ∩ В и почему?

6.8.   Найдите множество общих делителей чисел 30 и 45.

6.9.   Определите, какие из следующих утверждений верны:

a ∈ {a, b};

{a} ∈ {a, b};

{a} ⊂ {a, b};

a ⊂ {a, b};

{a, b} ∈ {a, b}.

6.10. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между следующими множествами:

1) А – множество неотрицательных чисел, В = {0}, N – множество натуральных чисел;

2) Z – множество целых чисел, А – множество натуральных чисел, кратных числу 6, В – множество натуральных чисел, кратных числу 3.

6.11. Определите, какие из следующих утверждений верны:

{a, b} ∩ {a} = a;

{a, b} ∩ {a, b} = a;

{a, b} ∩ {a} = {a};

{a, b} ∩ {a} = {b};

{a, b} ∪ {b} = {a, b};

{a, b} ∪ {b} = {b};

{a, b} ∪ {a} = {a};

{a, b} ∪ {b} = {{b}}.

6.12. Выберите верные утверждения:
1) любое натуральное число является целым числом;
2) любое натуральное число является рациональным числом;
3) любое натуральное число является действительным числом;
4) любое целое число является натуральным числом;
5) любое рациональное число является натуральным числом;
6) любое действительное число является натуральным числом;
7) любое рациональное число является целым числом;
8) любое рациональное число является действительным числом;
9) любое иррациональное число является действительным числом;
10) любое действительное число является иррациональным числом;
11) любое действительное число является рациональным или иррациональным числом.

6.13. Определите, какие из приведённых бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие являются записями иррациональных чисел: 0,(3); 0,4(32); 0,20200200020000… .

6.14. Выберите верные утверждения:
1) любая обыкновенная дробь является записью целого числа;
2) любая обыкновенная дробь является записью рационального числа;
3) любая обыкновенная дробь является записью иррационального числа;
4) любая обыкновенная дробь является записью действительного числа.

6.15. Выберите верные утверждения:
1) любая конечная десятичная дробь является записью целого числа;
2) любая конечная десятичная дробь является записью рационального числа;
3) любая конечная десятичная дробь является записью иррационального числа;
4) любая конечная десятичная дробь является записью действительного числа;
5) любая бесконечная десятичная дробь является записью целого числа;
6) любая бесконечная десятичная дробь является записью рационального числа;
7) любая бесконечная десятичная дробь является записью иррационального числа;
8) любая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

6.16. Выберите верные утверждения:
1) любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью целого числа;
2) любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью рационального числа;
3) любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью иррационального числа;
4) любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью действительного числа;
5) любая бесконечная непериодическая десятичная дробь является записью целого числа;
6) любая бесконечная непериодическая десятичная дробь является записью рационального числа;
7) любая бесконечная непериодическая десятичная дробь является записью иррационального числа;
8) любая бесконечная непериодическая десятичная дробь является записью действительного числа.

7.1.   Не выполняя действий, определите знак выражения:
(–1)²;  (–10)³;  (–21)⁴;  (–56)⁵;  (–702)¹⁰;  (–523)¹⁵;  (–1000)¹⁰⁰;  (–852)²⁰¹.
Ответ объясните.

7.2.   Не выполняя действий, определите какое выражение имеет большее значение:
–2³ или (–2)³;   –3² или (–2)³;   (–3)² или (–2)³;   (–4)³ или –3⁴. Ответ объясните.

7.3.   Найдите значение выражения:
(–1)¹¹ – (–1)¹¹;
(–1)⁴ – (–1)² – (–1)²;
(–1)² + (–1)³ + (–1)⁴;
(–2)⁵ – (–3)³.

7.4.   Определите порядок действий и найдите значение выражения:
3 · (–2)²;   –4 · (–3)³;   –(–3)⁴;   –(–2)²³;   –(–5)²;
–4 · (–3)²;   (2³)²;   (2²)³;   (3² – 2³)⁵;   (3² – 2²)².

7.5.   Определите, являются данные равенства верными или нет:
1) 10² + 11² + 12² = 13² + 14²;
2) 3³ + 4³ + 5³ = 6³;
3) 1³ + 6³ + 8³ = 9³;
4) 108² + 109² + 110² = 133² + 134²;
5) 11³ + 12³ + 13³ + 14² = 20³.

7.6.   Используя равенства из №7.5, найдите значение выражения:
1) (10² + 11² + 12² + 13² + 14²) : 365;
2) (3³ + 4³ + 5³ + 6³) : 216;
3) (108² + 109² + 110² – 133² – 134²) : 365;
4) (11³ + 12³ + 13³ + 14² + 20³) : 1000.

7.7.   Вычислите: .

7.8.   Найдите значение выражения:
(0,5 + 0,2)²;   (0,7 + 0,3)⁵;   (0,9 – 0,4)³;   0,8 + (1,1)²;
(1,2)² – 1,2;   1,5² – 0,25;   –(–0,3)²;   –(–0,5)³;
.

7.9.   Выполните действия:
0,75 · (–1)¹⁴ + (–1)⁷⁵; –0,2³ – 3,002 · (–1)⁸;
.

7.10.  Найдите значение выражения:

7.11.  Выполните действия и найдите значение выражения:

7.12.  Выполните действия и найдите значение выражения:

7.13.  Выполните действия и найдите значение выражения:

7.14.  Запишите подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел и найдите значение выражения:

7.15.  Найдите значение выражения, использую формулы сокращённого умножения:

8.1.   Выполните перевод из одной единицы длины в другую:

8.2. Используя результаты задания №8.1, выполните перевод из одной единицы длины в другую:

8.3. Площади фигур измеряют в квадратных единицах. Используя результаты задания №8.1 и правила возведения в степень, выполните перевод из одной единицы длины в другую:

8.4. Используя результаты задания №8.3, выполните перевод из одной единицы площади в другую:

8.5. Объёмы тел измеряют в кубических единицах. Используя результаты задания №8.1 и правила возведения в степень, выполните перевод из одной единицы длины в другую:

8.6. Используя результаты задания №8.5, выполните перевод из одной единицы объёма в другую:

8.7. Есть брёвна длиной 4 м и 5 м. Сколько брёвен по 4 м и 5 м надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

8.8.   Найдите значение выражения при заданных значениях переменных этого выражения:
1) –a⁴ + 2a² – 1 при a = –3; 0; 2;
2) –2b⁴ + b³ – 0,5b при b = –1; 0; 4;
3) –x³ + 0,1x² – x при x = –1; 0; 5;
4) 0,5y³ – 0,2y² + 0,4 при y = –2; 0; 1;
5)  при ;
6) 5cx – 5c² + x² – cx при x = –2, c = 1;
7) 18k² + 7y – 7ky – 18k при .

8.9.   Определите, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла:

8.10.  Найдите значения функции, которая задана формулой, при заданных значениях аргумента:
1) y = 4x – 8, если x = –3; 0; 1; 6;
2) y = x² +1, если x = –3; 0; 3; 4,5;
3), если x = –6; –1; 0; 1,5; 9;
4), если x = –2; –1; 0; 1,5; 3.

8.11.  Составьте таблицу значений функции y = 0,8 – 0,4x, где –1 ≤ x ≤ 3, с шагом 1. Используя данные таблицы, определите:
1) значение функции, которое соответствует нулевому значению аргумента;
2) значение аргумента, при котором значение функции равно 0.

8.12.  Найдите значение аргумента, при котором:
1) функция y = – 2,5x принимает значение, равное числу 12;
2) функция y = 4x + 3 принимает значение, равное числу .

8.13.  Найдите значения функции, которые соответствуют значениям аргумента, равным числу 1, числу 0, числу –6:

8.14.  Задайте формулой функцию и укажите несколько значений аргумента и соответствующих им значений функции, если известно, что:
1) значения функции противоположны значениям аргумента;
2) значения функции в 2 раза больше значений аргумента;
3) значения функции в 3 раза меньше, чем удвоенные значения аргумента.

9.1.   Сделайте чертёж, как показано на рисунке 1. Через каждые две точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые. Для их обозначения используйте две буквы латинского алфавита.

Рисунок 1

9.2.   Сделайте чертёж, как показано на рисунке 2. Используя чертёж:
1) определите, пересекаются прямые MK и a или нет;
2) укажите все отмеченные на чертеже точки, которые принадлежат прямой a;
3) укажите все отмеченные на чертеже точки, которые принадлежат прямой MK;
4) укажите все отмеченные на чертеже точки, которые не принадлежат ни прямой MK, ни прямой a.

Рисунок 2

9.3.  Проведите прямую a и отметьте на ней точки K, T, N. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

9.4.  Проведите прямую и отметьте на ней точки A, B, C. Запишите все возможные отрезки, образованные данными точками.

9.5. Изучите рисунок 3 и запишите ответы на вопросы с помощью математических обозначений.         
1) В какой точке пересекаются прямые p и l?    
2) В какой точке пересекаются прямые m и l?   
3) В какой точке пересекаются прямые p и m?  
4) Какие точки принадлежат прямой p?   
5) Какие точки не принадлежат прямой l?

Рисунок 3

9.6.  Изучите рисунок 4 и дайте ответ на вопрос: можно ли провести прямую, которая не проходит через точку А так, чтобы она пересекала одновременно прямые AB, AC и AD?

Рисунок 4

9.7.  Сколько различных прямых можно провести через четыре различные точки? Сделайте необходимые чертежи.

9.8. Изучите рисунок 5 и запишите, используя математические обозначения, какие из отмеченных на прямой с точек:
1) лежат между точками D и F;
2) принадлежат отрезку DF;
3) не принадлежат отрезку DF.

Рисунок 5

9.9.  Изучите рисунок 6. Известно, что AB = BC = CD = DE = EF = FM. Запишите, используя математические обозначения, ответы на следующие вопросы:
1) серединой какого отрезка является точка F;
2) какая точка является серединой отрезка AE;
3) серединой каких отрезков является точка C;
4) серединой каких отрезков является точка D;
5) какие отрезки имеют одну и ту же точку серединой?

Рисунок 6

9.10.  Сколько существует отрезков с концами в точках A, B, C, D, если точки A, B, C лежат на одной прямой, а точка Dне принадлежит прямой AB? Сделайте чертёж и выпишите обозначения всех отрезков.

9.11.  Точка C – середина отрезка AB, точка D– середина отрезка BC. Во сколько раз длина отрезка BC меньше, чем длина отрезка AB? Сделайте чертёж и объясните ответ.

9.12.  На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые (рисунок 7). С помощью математических обозначений запишите:
1) все отрезки, образованные точками пересечения прямых;
2) все лучи, образованные точками пересечения прямых;
3) все углы, образованные при пересечении прямых.

Рисунок 7

9.13.  На плоскости проведены три попарно пересекающиеся прямые (рисунок 8). С помощью математических обозначений запишите:
1) все острые углы, образованные при пересечении данных прямых;
2) все тупые углы, образованные при пересечении данных прямых.

Рисунок 8

9.14.  Из точки О выходят четыре луча OA, OB, OC, OD. Лучи OA и OC лежат на одной прямой, и лучи OB и OD также лежат на одной прямой. Какие возможны варианты? Сделайте необходимые чертежи.

9.15.  Какое наибольшее количество лучей может выходить из одной точки так, чтобы все углы, которые образованы соседними лучами, были тупыми?

10.1.  Проведите оси координат, выберите единицу длины на осях и постройте точки с координатами: (1; 2), (–2; 1), (–1; –3), (2; –1). Укажите, в каком координатном углу расположена каждая точка.

10.2.  Отметьте на координатной плоскости xOy четыре произвольные точки. Найдите координаты этих точек. Укажите, в каком координатном углу расположена каждая точка.

10.3.  На прямой, параллельной оси абсцисс, выбраны две точки А и В. Точка А имеет ординату y = 2. Чему равна ордината точки В?

10.4.  На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, выбраны две точки А и В. Точка А имеет абсциссу x = 2. Чему равна абсцисса точки В?

10.5.  Из точки А(4; 5) проведена прямая, перпендикулярная оси абсцисс. Определите координаты точки пересечения данной прямой с осью x.

10.6.  Из точки А(4; 5) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Определите координаты точки пересечения данной прямой с осью y.

10.7.  На координатной плоскости xOy проведите линию так, чтобы все её точки имели абсциссу, равную числу 2.

10.8.  На координатной плоскости xOy проведите линию так, чтобы все её точки имели ординату, равную числу 5.

10.9.  На координатной плоскости xOy проведите линию так, чтобы для всех её точек выполнялось равенство x = y.

10.10. На координатной плоскости xOy проведите линию так, чтобы для всех её точек выполнялось равенство x = –y.

10.11. На координатной плоскости xOy проведите линию так, чтобы для всех её точек выполнялось равенство | x | = 4.

10.12. На координатной плоскости xOyпроведите линию так, чтобы для всех её точек выполнялось равенство | y | = 4.

10.13. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство x ≥ 3.

10.14. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство x ≤ –3.

10.15. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство –4 £ x ≤ 5.

10.16. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство y ≥ –2.

10.17. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство y ≤ 5.

10.18. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство –3 ≤ y ≤ 6.

10.19. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство y ≤ x.

10.20. На координатной плоскости xOy отметьте область так, чтобы для всех её точек выполнялось неравенство y ≥ –x.