Разложение функций в ряды 

Часто бывает необходимо представить функцию в простом и единообразном виде. Рассмотрим представление функции в виде степенного многочлена в окрестности некоторой точки на оси абсцисс. Такое разложение называют разложением в ряд Тейлора. Если разложение выполняется относительно точки x = 0 , то такое разложение называют разложением в ряд Маклорена. 

Разложим функцию в степенной ряд в окрестности x = 1, т.е. в ряд Тейлора. 

>	restart: series(exp(x),x=1);

 

Рассмотрим еще один пример. 

>	series(exp(x),x);

 

В последнем примере значение точки разложения неуказанно. В таком случае Maple раскладывает функцию точке x = 0, т.е. в ряд Маклорена. Число членов ряда может быть изменено третьим необязательным параметром – неотрицательным целым числом (по умолчанию оно равно 5) или системной переменной Order. 

Ряд можно преобразовать в полином (исключить остаточный член) используя convert с параметром polynom. 

Следующий пример демонстрирует разложение функции в ряд Маклорена с числом членов ряда от 1 до 40. 

>	restart: with(plots): f:=x->sin(x)^2+cos(x); for i from 1 to 40 do Ris[i]:=plot([f(x),convert(series(f(x),x,i),polynom)],x=-8..8,y=-1..2,title=cat("Число членов ряда =", i)): end do: display([seq(Ris[i],i=1..40)], insequence=true);

 

В этом примере изображения, созданные функцией plot, записываются в одномерный массив Ris, а функция display с параметром insequence=true отображает изображения друг за другом, создавая анимированное изображение. 

Для периодических функций часто используют разложение в тригонометрический ряд Фурье.  

Такое разложение используют, например, для анализа сигналов электрических цепей. В Maple нет стандартной функции для такого разложения, поэтому покажем, как это можно сделать. 

Тригонометрический ряд Фурье – это представление произвольной периодической функции f ( x) с периодом [-π, π] в виде 

 где  

Числа и – называются коэффициентами Фурье функции f ( x) . 

Рассмотрим пример разложения функции в тригонометрический ряд Фурье. Периодическая функция с периодам 2π определена следующим образом: 

>	restart: a:=n->1/Pi*int(f(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi); b:=n->1/Pi*int(f(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi); FS:=(x,k)->a(0)/2+sum(a(n)*cos(n*x)+b(n)*sin(n*x),n=1..k); f:=x->piecewise(x>-Pi and x<0, -1,x>=0 and x <=Pi, 1); FS(x,15);

 

Выше представлено разложение функции f ( x) в тригонометрический ряд Фурье. 

Изобразим исходную функцию и ее разложение. 

>	plot([f(x),FS(x,20)],x=-2*Pi..2*Pi,thickness=[3,1],legend=["исходная функция","ряд Фурье"],title="Разложение функции в ряд Фурье");

 

Рассмотрим еще один пример. Периодическая функция с периодам 2π определена следующим образом: . 

>	f:=x->x^2; FS(x,15);

 

Изобразим исходную функцию и ее разложение. 

>	plot([f(x),FS(x,20)],x=-5*Pi..5*Pi,y=0..10,thickness=[3,1],legend=["исходная функция","ряд Фурье"],title="Разложение функции в ряд Фурье");