Теория Информационных Систем

Лабораторная работа 8

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРА ЧЕБЫШЕВА

Учебные цели:

1. Закрепить навыки моделирования на ПЭВМ в среде «LabVIEW».

2. Изучить особенности практического применения фильтра Чебышева.

Теоретические основы

Фильтр Чебышева – один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева первого рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышева, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышева.

Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышева первого и второго родов. Рассмотрим подробнее фильтр Чебышева первого рода.

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:

(8.1)

где ε – показатель пульсаций; ω0– частота среза; Tn(x) – многочлен Чебышева n-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации ε. В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального (G = 1) до минимального (8.2):

(8.2)

На частоте среза ω0 коэффициент усиления имеет значение (8.2) , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты (рис. 8.1).

Рис. 8.1. АЧХ фильтра Чебышева четвёртого порядка

В случае аналогового электронного фильтра Чебышева его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

(8.3)

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют ε = 1.

Более крутой спад характеристики может быть получен, если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси в комплексной плоскости. Это, однако, приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Основные соотношения, связывающие параметры аппроксимации АЧХ:

(8.4)

Аппроксимация АЧХ ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде

(8.5)

где Tn(ω)=cos(Narccos(ω)) – многочлен Чебышева.

Порядок фильтра Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения

(8.6)

Решение, которого имеет вид

(8.7)

где arch() – арккосинус гиперболический.

При нормировке необходимо учесть, что при нечётных порядках фильтра, многочлен Чебышева T(n)(0)=0 и соответственно |H(j*0)|2=1 согласно выражению (8.5), а при чётных порядках фильтра, многочлен Чебышева T(N)(0)=1 и соответственно |H(j*0)|2=1/ε2p , таким образом, при чётном порядке фильтра, его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен . С учётом этого передаточная функция нормированного фильтра Чебышева первого рода для любого N=2L+r имеет вид

(8.8)

Пример расчёта фильтра Чебышева первого рода

Рассмотрим нормированный ФНЧ Чебышева первого рода, исходя из следующего коридора АЧХ:

Шаг 1. Из выражения (8.4) рассчитаем параметры коридора:

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра, удовлетворяющий заданному коридору, согласно выражению (8.7):

Округляя в большую сторону, получаем порядок фильтра.

Шаг 3. Рассчитаем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (8.8). Для этого произведём предварительные расчёты.

Порядок фильтра N=4=2L+r, откуда L=2, r=0. Параметр β равен

Параметры αk, где k принимает значения 1 или 2 равны:

Рассчитаем параметры σk и ωk, а также рассчитаем σk2 и ωk2 .

Обратим внимание, что r=0 и рассчитывать параметр σ0 не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:

На этом расчёт фильтра Чебышева первого рода можно считать оконченным.

Входной контроль

1. Что такое фильтр Чебышева?

2. Что такое нули и полюса фильтра Чебышева?

3. Где применяется фильтр Чебышева первого рода?

4. Сравните АЧХ фильтра Чебышева с АЧХ RC-фильтров.

5. Что называется частотой среза фильтра Чебышева?

Указания по выполнению работы

Модель лабораторной установки, представлена на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Структурная схема лабораторной установки

На ПЭВМ запустить программу моделирования «LabVIEW».

Шаг 1. Для добавления генераторов аналоговых сигналов необходимо в окне «Block Diagram» выбрать панель «Functions» → «Signal Processing» → «Waveform Generation» → «Basic Function Generator».

Для добавления генератора белого гауссовского шума необходимо в окне «Block Diagram» выбрать панель «Functions» → «Signal Processing» → «Waveform Generation» → «Gaussian White Noise Waveform»

Для добавления осциллографов необходимо перейти в окно «Front Panel» → «Controls» → «Modern» → «Graph» → «Waveform Graph».

Для добавления фильтра необходимо перейти в окно «Block Diagram» → «Express» → «Signal Analysis» → «Filter».

Для того чтобы объединить сигнал и шум, необходимо добавить массив. В окне «Block Diagram» выбрать панель «Functions» → «Programming» → «Array» → «Build Array».

Шаг 2. Для изменения параметров входных сигналов необходимо добавить мнемокнопки задающие : частоту амплитуду и фазу. Для этого перейдите в окно «Front Panel» → «Controls» → «Modern» → «Numeric» → «Knob». Также необходимо добавить мнемокнопки для изменения частоты дискретизации фильтра и для изменения девиации.

Шаг 3. Соединить все элементы схемы так, как показано на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Схема виртуальной лабораторной установки

В лицевой панели фильтра переключить режим работы на IIR фильтры, где выбрать в меню фильтр Чебышева.

Порядок выполнения работы

1. Установить параметры элементов схемы:

амплитуда – 10V;

фаза – 0 Deg;

девиация шума – 0;

частота среза – 10 Hz.

2. Снять частотную характеристику фильтра Чебышева, как зависимость коэффициента передачи от частоты. Коэффициент передачи определяется как отношение выходного напряжения фильтра к входному. Для снятия частотной характеристики необходимо, последовательно изменяя частоту генератора, снимать показания выходного напряжения и записывать в табл. 8.1.

3. Построить частотную характеристику фильтра Чебышева графически в Microsoft Exel. Обозначить на полученном графике частоту среза.

8.1. Результаты измерений и расчётов

4. Сравнить полученную АЧХ на каждом шаге с характеристикой на лицевой панели фильтра выбрав в меню «View Mode» подменю «Transfer Functions». Графики, сравнительный анализ полученной и эталонной АЧХ занести в отчёт.

5. Исследовать влияние фильтра на зашумленный аналоговый сигнал.

Установить параметры элементов схемы:

амплитуда – 10V;

частота – 10 Hz;

фаза – 0 Deg;

девиация – 4;

частота среза – 10 Hz.

Перейти в лицевую панель фильтра, зафиксировать отфильтрованный сигнал, для значения порядка (Order) фильтра, равному 4, 9, 11.

6. Сделать выводы по работе и записать их в отчёт. Объяснить, почему после фильтра четвёртого порядка шум не ослабевает. Добавить скриншоты отфильтрованных сигналов фильтром 4, 9, 11 порядков.

Контрольные вопросы

1. Определить полосы пропускания и подавления по полученной АЧХ.

2. Определить коэффициент усиления графически.

3. Определить ε по формуле (2).

4. Почему в данном виртуальном приборе при порядке (Order) фильтра равном 0, появляется ошибка прибора?

Издательско-полиграфический центр ФГБОУ ВПО «ТГТУ» izdatelstvo@admin.tstu.ru